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DECOLLAGE D'UN BALLON(2)

DECOLLAGE D'UN BALLON

Le décollage :  la vitesse du ballon est nulle à l'origine du temps t0 = 0.

Cette vitesse augmente et au bout d'un certain temps elle devient limite  à la valeur vl, il y a une accélération au début du décollage.

La montée est freinée par la résistance de l'air au dessus du ballon.

Comme précédemment, on peut écrire :       

- ( mb + r_c .  Vb ) . g  +  r_e  .  Vb . g  -   K . r_e . v ²   =  (  mb  +  r_c .  Vb  ) .  dv / dt       

L' accélération est  la dérivée de la vitesse :  

Calcul du coefficient  K :  

R  =  1/2  .  r .  S .  C_x  . v ²        on pose  K  =   1/2  .  S  .   C_x        d'où   R  =   K  .  r .  v²        

K  =  1/2 .  p   .  r²  .  C_x    =   0,5 .  3,1416 . (  2,25 )²  . 0,5  =   3,976   

Calcul de A  :     on supposera  que  r_c   est constant pendant un temps court. 

A =   -  ( 3,976 .  1,22  )  /  (  2  +  1,145 . 47,74 )  =   -  0, 0856  

Calcul de B :     -  9,8   +   ( 1,22 . 47,74 . 9,8 )  /  ( 2 +  1,145 . 47,74 )  =   0,273  

dv/dt =  -  0,0856  .  v²     +    0,273   

pour t0 =  0   alors  v ( t0 )  =  0          a(t0)  =  dv / dt  =  B  =   0, 273

D v ( t0 )  =  a ( t0 ) .  D t            prenons un intervalle de 1 seconde

D v ( t0 )  =  0,273  .  1  =   0,273  

v ( t1 ) =  v ( t0 ) + D v ( t0 )  =  0  +  0, 273  =  0, 273 m/s

a( t1 ) =  - 0,0856 . v²  (t1)  +  0,273   

a( t1 ) =  - 0,0856 . ( 0,273 )²  +  0,273   =  0,267  

D v ( t1 ) =     a ( t1 ) .  D t  =   0,267 . 1  =  0,267

v ( t2 ) =  v ( t1 ) + D v ( t1 ) =  0, 273 + 0, 267 =  0,5396  m/s  

a( t2 ) =   - 0,0856 . v²  (t2)  +  0,273    =   - 0,0856 . ( 0,5396 )²    +  0,273  =  0,248

D v ( t2 ) =     a ( t2 ) .  D t  =  0,248  .  1  =  0,248

v ( t3 ) =  v ( t2 ) + D v ( t2 )  =  0,53962  +  0,248  =   0,78762  m/s

a( t3 ) =   - 0,0856 . v²  (t3)  +  0,273    =   - 0,0856 . (0,78762)²   +  0,273  =   0,2199  

D v ( t3 ) =     a ( t3 ) .  D t  =  0,2199  .  1   =  0,2199  

v ( t4 ) =  v ( t3 ) + D v ( t3 )  =  0,78762  +  0,2199  =  1, 0075  m/s 

la vitesse augmente et l'accélération diminue. 

Vitesse limite : 

Un équilibre se produit, l'accélération devient nulle, la vitesse reste constante, c'est la vitesse limite vl  :   

a ( tl ) =  A . v²  (tl)  +  B  =  0 

a( tl ) =  - 0,0856 . v²  (tl)  +  0,273   = 0  

v²  (tl)  =   -  B / A       v ( tl ) =  racine de   -  B / A 

vl²  =    - 0,273  /  - 0,0856    

vl =  racine de   - 0,273  /  - 0,0856    =   1,7858  m/s   

Récapitulatif  :  

FICHIER FEUILLE DE CALCUL EXCEL  :   "calculdecollageballonsolaire1.xls"  taille 191 ko

Mode d'emploi :  voir sur la feuille EXCEL 

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